引言
人們根據(jù)密鑰的特點(diǎn)，將密碼系統(tǒng)分為私鑰和公鑰兩大密碼系統(tǒng)。在私鑰密碼系統(tǒng)中，解密密鑰和加密密鑰相同或者很容易從加密密鑰導(dǎo)出，這一特點(diǎn)致使加密系統(tǒng)變得不安全。1976年Diffie和Hellman發(fā)表了著名的“密碼學(xué)的新方向”一文［1］，提出公開密鑰密碼的思想，從此開始公鑰密碼的發(fā)展。在公鑰密碼體制中，解密密鑰和加密密鑰不同，從一個難于推出另一個，加密和解密是可分離的，通信雙方事先無須交換密鑰就可建立起保密通信。1978年由Rivest、Shamir和Adleman提出的RSA［2］方案及1984年提出的ELGamal［3］方案均屬于公鑰密碼體制。RSA的安全性依賴于大整數(shù)分解因子問題的困難性，ELGamal的安全性則是建立在有限域上離散對數(shù)問題困難性基礎(chǔ)上的。
隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，相互之間進(jìn)行通信的用戶數(shù)量的增多，RSA與ELGamal公鑰密碼體制的公鑰位數(shù)較大（一般為512比特以上）的弱點(diǎn)逐漸暴露出來。1985年Koblitz［4］和Miller［5］分別獨(dú)立地提出利用橢圓曲線上離散對數(shù)代替有限域上離散對數(shù)，可以構(gòu)作公鑰位數(shù)較小的ELGamal類公鑰密碼。
1 橢圓曲線
定義1：設(shè)K=GF(q)（其中q=p?d）為一有限域，K上橢圓曲線方程E為：
y2=x3+ax+b (p≥5，a,b∈K，4a3+27b2≠0)
y2+xy=x3+ax+b (p=2,a,b∈K)
滿足橢圓曲線方程E的所有點(diǎn)及一個稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O［6］的點(diǎn)所構(gòu)成的集合
E(K)={(x,y)|(x,y)∈E,且x,y∈K}∪O
為該曲線的K-有理點(diǎn)集合，它是一個有限集，元素個數(shù)稱為該橢圓曲線E的階，記#E(K).我們在該有限集上定義一個加法運(yùn)算［6］,使得這些點(diǎn)對于該加法運(yùn)算形成一個Abel群，群的單位元為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O.
定理1(Hasse不等式)：設(shè)K=GF(q), E/K為有限域上的橢圓曲線，有不等式
|#E(K)-pd-1|≤2(pd)1/2成立。
定義5：設(shè)E/K為橢圓曲線，點(diǎn)P為其上的點(diǎn)，最小的滿足條件rP=O，正整數(shù)r稱為點(diǎn)P的階。根據(jù)有限域的知識，我們知道這樣的r總是存在且整除橢圓曲線階#E(K).整數(shù)k,l，滿足條件kP=lP，當(dāng)且僅當(dāng)k=lmod(r).
2 橢圓曲線上的密碼體制
橢圓曲線上離散對數(shù)問題ECDLP定義如下：給定素?cái)?shù)p和橢圓曲線E，對Q＝kP，在已知P，Q 的情況下求出小于p的正整數(shù)k.可以證明由k和P計(jì)算Q比較容易，而由Q和P計(jì)算k則比較困難。ECDLP是比整數(shù)因子分解問題IFP和離散對數(shù)問題DLP難得多的數(shù)學(xué)難題?；谠撾y題，Neal Koblitz和Victor Miller［4］［5］在1985年分別提出了橢圓曲線密碼系統(tǒng)（ECC）.ECC既可以用于數(shù)據(jù)加密，也可以用于數(shù)字簽名。
將橢圓曲線中的加法運(yùn)算與離散對數(shù)中的模乘運(yùn)算相對應(yīng)，將橢圓曲線中的乘法運(yùn)算與離散對數(shù)中的模冪運(yùn)算相對應(yīng)，我們就可以建立基于橢圓曲線的對應(yīng)的密碼體制。
例如，對應(yīng)Diffie-Hellman公鑰系統(tǒng)，我們可以通過如下方式在橢圓曲線上予以實(shí)現(xiàn)：在E上選取生成元P，要求由P產(chǎn)生的群元素足夠多，通信雙方A和B分別選取a和b,a和b 予以保密，但將aP和bP公開，A和B間通信用的密鑰為abP,這是第三者無法得知的。
對應(yīng)ELGamal密碼系統(tǒng)可以采用如下的方式在橢圓曲線上予以實(shí)現(xiàn)：
將明文m嵌入到E上Pm點(diǎn)，選一點(diǎn)B∈E，每一用戶都選一整數(shù)a,0＜a＜N，N為階數(shù)已知，a 保密，aB公開。欲向A送m,可送去下面一對數(shù)偶：［kB,Pm+k(aAB)］,k是隨機(jī)產(chǎn)生的整數(shù)。A可以從kB求得k(aAB).通過：Pm+k(aAB)- k(aAB)=Pm恢復(fù)Pm.同樣對應(yīng)DSA我們可以在橢圓曲線上構(gòu)造ECDSA.
3 橢圓曲線密碼與智能卡
智能卡通常用在安全性要求比較高的場合，并與密碼學(xué)的應(yīng)用相結(jié)合。這首先是由于智能卡能夠保護(hù)并安全的處理敏感數(shù)據(jù)；而智能卡能保護(hù)密鑰也是相當(dāng)重要的，因?yàn)?#8220;一切秘密寓于密鑰之中”，為了能達(dá)到密碼所提供的安全服務(wù)，密鑰絕對不能被泄密，但為安全原因所增加的成本卻不能太多。
智能卡自身硬件的資源極為有限。用其實(shí)現(xiàn)安全系統(tǒng)面臨著存儲器容量和計(jì)算能力方面受到的限制。目前市場上的大多數(shù)智能卡有128到1024字節(jié)的RAM，1 k到16 k字節(jié)的EEPROM，6 k到16 k字節(jié)的ROM，CPU通常為8比特的，典型的時(shí)鐘頻率為3.57 MHz.任何存儲或者是處理能力的增強(qiáng)都意味著智能卡成本的大幅度提高。
另外智能卡的數(shù)據(jù)傳送是相對慢的，為提高應(yīng)用的效率，基本的數(shù)據(jù)單元必須要小，這樣可以減少智能卡與卡終端之間的數(shù)據(jù)流量，其傳送時(shí)間的減少則意味著實(shí)用性的增強(qiáng)。
將橢圓曲線密碼體制應(yīng)用于智能卡的優(yōu)點(diǎn)是：生成私鑰公鑰方便；節(jié)省內(nèi)存空間；節(jié)省帶寬，提高實(shí)用性；節(jié)省處理時(shí)間，而不需要增加硬件的處理等方面。ECC密鑰短所帶來的各優(yōu)點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了智能卡硬件的各種局限，不僅能有效地降低智能卡的生產(chǎn)成本，也能提高智能卡的實(shí)用性。
4 參數(shù)的選取
橢圓曲線上的公鑰密碼體制的安全性是建立在橢圓曲線離散對數(shù)的基礎(chǔ)上，但并不是所有橢圓曲線都可以應(yīng)用到公鑰密碼體制中，為了保證其安全性，我們必須選取安全橢圓曲線，即階為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子的橢圓曲線為安全橢圓曲線。一般來說有四種尋找安全橢圓曲線的方法：
1）有限域GF(q)上隨機(jī)生成一橢圓曲線，直接計(jì)算其階，判斷階是否為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子，若是即確定，否則繼續(xù)選取曲線，直至符合條件。
2）取具有一定特殊性橢圓曲線的系數(shù)，計(jì)算該橢圓曲線的階，對該階進(jìn)行判斷，直至找到所需要的安全曲線。
3）如果q=2m，其中m能被一個比較小的整數(shù)d整除，我們首先在有限域GF(q1)(q1=2d)上選擇一橢圓曲線E‘并計(jì)算其階，根據(jù)此值，利用Weil定理［6］計(jì)算該曲線在其擴(kuò)域GF(q)上的階，若此階符合安全標(biāo)準(zhǔn)，我們再找曲線E‘在域GF(q)上的嵌入E，則E即為所需的安全橢圓曲線。
4）首先給出具有安全條件的曲線階，然后構(gòu)造一具有此階的橢圓曲線。
目前國內(nèi)外比較流行的計(jì)算橢圓曲線階的算法有complex multiplication算法、SEA算法、Satoh算法［7］,［8］均屬于上述幾種方法之一種。應(yīng)用廣泛的橢圓曲線公鑰密碼體制中大多是基于特征2的有限域上，因此尋找特征2的有限域上的安全橢圓曲線必須先予以解決，Satoh算法正是為此提出的。
5 有關(guān)Satoh算法的實(shí)現(xiàn)問題
作者使用Mathematica語言實(shí)現(xiàn)了特征2時(shí)Satoh算法。在算法實(shí)現(xiàn)的驗(yàn)證部分用到了上述方法，為了在有限域F2160上尋求安全橢圓曲線，首先在有限基域F216上隨機(jī)生成一條橢圓曲線E，利用Satoh算法計(jì)算其Frobenius同態(tài)跡C，根據(jù)橢圓曲線階的計(jì)算方法可知該曲線的階為216+1-C.設(shè)方程x2-Cx+216=0的兩個根為α，β，根據(jù)Weil共軛［6］可知該條橢圓曲線在擴(kuò)域上的階為：(216)10+1-(α10+β10)，如果這個階為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子，我們將E嵌入到F2160上就找到了一條符合密碼體制要求的安全曲線。
Satoh算法的C語言實(shí)現(xiàn)所涉及的運(yùn)算領(lǐng)域有：有限域Fq，2-adic環(huán)Zq和2-adic整數(shù)環(huán)Z2，各個領(lǐng)域的元素之間的運(yùn)算是大整數(shù)的基本運(yùn)算，這里q=2160.2-adic整數(shù)環(huán)Z2中元素α的形式如同α=a1+a22+a322+a423+...an2n-1+...冪級形式，ai的值或?yàn)?或?yàn)?.由于算法只需要精度precision為83=［160+62］，2-adic整數(shù)環(huán)Z2中元素級數(shù)不能超出83.2-adic整數(shù)環(huán)中元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義為：
Typedef unsigned long BIGword；
Typedef struct{
int length
BIGword value［3］
}Z2word；
兩個元素的相加減運(yùn)算為模283意義下的大整數(shù)的加減運(yùn)算，相乘為模283意義下的乘法運(yùn)算。求元素a的逆元運(yùn)算采用牛頓迭代算法，迭代的初始值為1（該元素為奇數(shù)，否則無逆元），迭代公式為x←x-x(ax-1)，迭代一次精度翻倍，達(dá)到所需83的精度要迭代7次。
有限域Fq上的元素α=a1+a2t+a3t2+a4t3+...a160t159，其形式為一次數(shù)不高于159次的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)或?yàn)?或?yàn)?，兩個多項(xiàng)式相加為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)模2加，減法與加法是一個運(yùn)算。相乘為模一多項(xiàng)式f(t)=t160+t5+t3+t2+1意義下的乘法，在實(shí)際的運(yùn)算過程中采用邊乘邊模的方法，也即次數(shù)出現(xiàn)160，就用低次多項(xiàng)式t5+t3+t2+1代替。求逆運(yùn)算采用擴(kuò)展歐幾里德算法。Fq元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義如下：
typedef struct {
int length
BIGword coef［5］
}Fqword
環(huán)Zq為2-adic整環(huán)Z2上的多項(xiàng)式Z2［t］，模去多項(xiàng)式f(t)生成的理想［f(t)］所形成的商環(huán)，即Zq：=Z2［t］/［f(t)］，f(t)同上。從環(huán)Zq的構(gòu)造可知，Zq中元素的形式為一次數(shù)不高于159的多項(xiàng)式，系數(shù)為2-adic整環(huán)Z2上的元素，這樣，我們可以定義Zq的元素?cái)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
typedef struct {
int length
Z2word coef［159］
}Zqword
元素的加、減法運(yùn)算同一般多項(xiàng)式運(yùn)算類似，只是對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算是2-adic環(huán)Z2上元素的加、減。乘法運(yùn)算的處理方式如同有限域中元素乘法的運(yùn)算處理。求元素a的逆運(yùn)算采用牛頓迭代方法。迭代初始值求法為：首先將元素a系數(shù)模2，得到有限域上的一元素a‘，利用有限域上元素求逆方法計(jì)算出a‘的逆，a‘的逆即為迭代初始值。迭代多項(xiàng)式與2-adic整數(shù)環(huán)中元素的求逆迭代多項(xiàng)式相同。
在上述基本運(yùn)算得到解決后，我們著手于橢圓曲線階的計(jì)算。隨機(jī)選取橢圓曲線y2+xy=x3+α（α為有限域中元素），利用Satoh算法可求出該曲線的階。每給出一個α值（實(shí)際上給出了一條曲線E），就會算出該曲線的階。
a的選取
對應(yīng)曲線的點(diǎn)的個數(shù)
0x40582590ac00873494fc02b180ba640130acb252
0x1000000000000000000014c3ec7372a968d0b1138
0xd80c00e8008e2021384a0243012d600554e10200
0xfffffffffffffffffffed059c32e5457a83e0314
0x8992b8ca2b70624440f6003100411646002d102c
0xffffffffffffffffffff203b8ad8bf63e2891eac
作者在攻讀碩士學(xué)位期間實(shí)現(xiàn)了素域上安全橢圓曲線構(gòu)造的SEA算法，在后期學(xué)習(xí)和工作中，分別用Mathematica和C兩種語言實(shí)現(xiàn)Satoh算法。這兩個算法的實(shí)現(xiàn)解決了有限域上安全曲線的構(gòu)造問題，對今后的研究——橢圓曲線密碼體制在移動通信領(lǐng)域中的應(yīng)用做了充分的準(zhǔn)備工作。
6 結(jié)束語
1.分析了將安全橢圓曲線引進(jìn)公鑰密碼體制的優(yōu)點(diǎn)是，與目前應(yīng)用較普遍的ＲＳＡ算法相比，在同等安全的情況下，其所需的密鑰長度遠(yuǎn)比ＲＳＡ低，因而ＥＣＣ的特性更適合當(dāng)今電子商務(wù)需要快速反應(yīng)的發(fā)展潮流，在快速加密、密鑰交換、身份認(rèn)證、數(shù)字簽名、移動通信、智能卡的安全保密等領(lǐng)域，具有廣闊的市場前景。
2.橢圓曲線公鑰密碼體制實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵是安全曲線的構(gòu)造問題，對此本文給出了實(shí)現(xiàn)Satoh算法驗(yàn)證部分的技巧：首先計(jì)算小基域上一橢圓曲線階，通過Weil定理可知該曲線在其有限擴(kuò)域上的階，若該階符合橢圓曲線公鑰密碼體制的要求，則將曲線嵌入到其擴(kuò)域上即可求得一條安全曲線。
參考文獻(xiàn)：
［1］ W Diffie,M E Hellman.NEW Directions in Cryptography［J］.IEEE Trans Informat Theory,1976,IT-22:644-654.
［2］ Rivest R L,Shamir A,Adleman L.A Method for obtaining Digital Signatures and Public-key Cryptosystem［J］.Comm ACM，1978,21(2):120-126.
［3］ L ElGamal.A Public Key Cryptosystem and Signature Scheme Base on Discrete Logarithm［J］.IEEE Transactions of information Theory,1985,31:469-472.
［4］ V Miller.Use of Elliptic Curves in Cryptography［A］.A M Odlyzko.Advances in Cryptology-Proceedings of CRYPTO 1986,volume 263 of Lecture Notes in Computer Science［C］.New york:Springer,1986.417-426.
［5］ N Koblitz.Elliptic Curve Cryptosystems［J］.Mathematics of Compution,1987,48:203-309.
［6］ Joseph H Silberman.The Arithmetic of Elliptic Curves［M］.New York:Springer-Verlag,1986.46-61,130-136.
［7］ T Satoh.The canonical lift of an ordinary elliptic curve over a finite field and its point counting［J］.Ramanujan Mathematical Society,2000,15:247-270.
［8］ M Fouquet,P Gaudry,R Harley.An extention Satoh‘ algorithm and its implementation［J］.Ramanujan Mathematical Society,2000,15:281-318.
人們根據(jù)密鑰的特點(diǎn)，將密碼系統(tǒng)分為私鑰和公鑰兩大密碼系統(tǒng)。在私鑰密碼系統(tǒng)中，解密密鑰和加密密鑰相同或者很容易從加密密鑰導(dǎo)出，這一特點(diǎn)致使加密系統(tǒng)變得不安全。1976年Diffie和Hellman發(fā)表了著名的“密碼學(xué)的新方向”一文［1］，提出公開密鑰密碼的思想，從此開始公鑰密碼的發(fā)展。在公鑰密碼體制中，解密密鑰和加密密鑰不同，從一個難于推出另一個，加密和解密是可分離的，通信雙方事先無須交換密鑰就可建立起保密通信。1978年由Rivest、Shamir和Adleman提出的RSA［2］方案及1984年提出的ELGamal［3］方案均屬于公鑰密碼體制。RSA的安全性依賴于大整數(shù)分解因子問題的困難性，ELGamal的安全性則是建立在有限域上離散對數(shù)問題困難性基礎(chǔ)上的。
隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，相互之間進(jìn)行通信的用戶數(shù)量的增多，RSA與ELGamal公鑰密碼體制的公鑰位數(shù)較大（一般為512比特以上）的弱點(diǎn)逐漸暴露出來。1985年Koblitz［4］和Miller［5］分別獨(dú)立地提出利用橢圓曲線上離散對數(shù)代替有限域上離散對數(shù)，可以構(gòu)作公鑰位數(shù)較小的ELGamal類公鑰密碼。
1 橢圓曲線
定義1：設(shè)K=GF(q)（其中q=p?d）為一有限域，K上橢圓曲線方程E為：
y2=x3+ax+b (p≥5，a,b∈K，4a3+27b2≠0)
y2+xy=x3+ax+b (p=2,a,b∈K)
滿足橢圓曲線方程E的所有點(diǎn)及一個稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O［6］的點(diǎn)所構(gòu)成的集合
E(K)={(x,y)|(x,y)∈E,且x,y∈K}∪O
為該曲線的K-有理點(diǎn)集合，它是一個有限集，元素個數(shù)稱為該橢圓曲線E的階，記#E(K).我們在該有限集上定義一個加法運(yùn)算［6］,使得這些點(diǎn)對于該加法運(yùn)算形成一個Abel群，群的單位元為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O.
定理1(Hasse不等式)：設(shè)K=GF(q), E/K為有限域上的橢圓曲線，有不等式
|#E(K)-pd-1|≤2(pd)1/2成立。
定義5：設(shè)E/K為橢圓曲線，點(diǎn)P為其上的點(diǎn)，最小的滿足條件rP=O，正整數(shù)r稱為點(diǎn)P的階。根據(jù)有限域的知識，我們知道這樣的r總是存在且整除橢圓曲線階#E(K).整數(shù)k,l，滿足條件kP=lP，當(dāng)且僅當(dāng)k=lmod(r).
2 橢圓曲線上的密碼體制
橢圓曲線上離散對數(shù)問題ECDLP定義如下：給定素?cái)?shù)p和橢圓曲線E，對Q＝kP，在已知P，Q 的情況下求出小于p的正整數(shù)k.可以證明由k和P計(jì)算Q比較容易，而由Q和P計(jì)算k則比較困難。ECDLP是比整數(shù)因子分解問題IFP和離散對數(shù)問題DLP難得多的數(shù)學(xué)難題?；谠撾y題，Neal Koblitz和Victor Miller［4］［5］在1985年分別提出了橢圓曲線密碼系統(tǒng)（ECC）.ECC既可以用于數(shù)據(jù)加密，也可以用于數(shù)字簽名。
將橢圓曲線中的加法運(yùn)算與離散對數(shù)中的模乘運(yùn)算相對應(yīng)，將橢圓曲線中的乘法運(yùn)算與離散對數(shù)中的模冪運(yùn)算相對應(yīng)，我們就可以建立基于橢圓曲線的對應(yīng)的密碼體制。
例如，對應(yīng)Diffie-Hellman公鑰系統(tǒng)，我們可以通過如下方式在橢圓曲線上予以實(shí)現(xiàn)：在E上選取生成元P，要求由P產(chǎn)生的群元素足夠多，通信雙方A和B分別選取a和b,a和b 予以保密，但將aP和bP公開，A和B間通信用的密鑰為abP,這是第三者無法得知的。
對應(yīng)ELGamal密碼系統(tǒng)可以采用如下的方式在橢圓曲線上予以實(shí)現(xiàn)：
將明文m嵌入到E上Pm點(diǎn)，選一點(diǎn)B∈E，每一用戶都選一整數(shù)a,0＜a＜N，N為階數(shù)已知，a 保密，aB公開。欲向A送m,可送去下面一對數(shù)偶：［kB,Pm+k(aAB)］,k是隨機(jī)產(chǎn)生的整數(shù)。A可以從kB求得k(aAB).通過：Pm+k(aAB)- k(aAB)=Pm恢復(fù)Pm.同樣對應(yīng)DSA我們可以在橢圓曲線上構(gòu)造ECDSA.
3 橢圓曲線密碼與智能卡
智能卡通常用在安全性要求比較高的場合，并與密碼學(xué)的應(yīng)用相結(jié)合。這首先是由于智能卡能夠保護(hù)并安全的處理敏感數(shù)據(jù)；而智能卡能保護(hù)密鑰也是相當(dāng)重要的，因?yàn)?#8220;一切秘密寓于密鑰之中”，為了能達(dá)到密碼所提供的安全服務(wù)，密鑰絕對不能被泄密，但為安全原因所增加的成本卻不能太多。
智能卡自身硬件的資源極為有限。用其實(shí)現(xiàn)安全系統(tǒng)面臨著存儲器容量和計(jì)算能力方面受到的限制。目前市場上的大多數(shù)智能卡有128到1024字節(jié)的RAM，1 k到16 k字節(jié)的EEPROM，6 k到16 k字節(jié)的ROM，CPU通常為8比特的，典型的時(shí)鐘頻率為3.57 MHz.任何存儲或者是處理能力的增強(qiáng)都意味著智能卡成本的大幅度提高。
另外智能卡的數(shù)據(jù)傳送是相對慢的，為提高應(yīng)用的效率，基本的數(shù)據(jù)單元必須要小，這樣可以減少智能卡與卡終端之間的數(shù)據(jù)流量，其傳送時(shí)間的減少則意味著實(shí)用性的增強(qiáng)。
將橢圓曲線密碼體制應(yīng)用于智能卡的優(yōu)點(diǎn)是：生成私鑰公鑰方便；節(jié)省內(nèi)存空間；節(jié)省帶寬，提高實(shí)用性；節(jié)省處理時(shí)間，而不需要增加硬件的處理等方面。ECC密鑰短所帶來的各優(yōu)點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了智能卡硬件的各種局限，不僅能有效地降低智能卡的生產(chǎn)成本，也能提高智能卡的實(shí)用性。
4 參數(shù)的選取
橢圓曲線上的公鑰密碼體制的安全性是建立在橢圓曲線離散對數(shù)的基礎(chǔ)上，但并不是所有橢圓曲線都可以應(yīng)用到公鑰密碼體制中，為了保證其安全性，我們必須選取安全橢圓曲線，即階為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子的橢圓曲線為安全橢圓曲線。一般來說有四種尋找安全橢圓曲線的方法：
1）有限域GF(q)上隨機(jī)生成一橢圓曲線，直接計(jì)算其階，判斷階是否為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子，若是即確定，否則繼續(xù)選取曲線，直至符合條件。
2）取具有一定特殊性橢圓曲線的系數(shù)，計(jì)算該橢圓曲線的階，對該階進(jìn)行判斷，直至找到所需要的安全曲線。
3）如果q=2m，其中m能被一個比較小的整數(shù)d整除，我們首先在有限域GF(q1)(q1=2d)上選擇一橢圓曲線E‘并計(jì)算其階，根據(jù)此值，利用Weil定理［6］計(jì)算該曲線在其擴(kuò)域GF(q)上的階，若此階符合安全標(biāo)準(zhǔn)，我們再找曲線E‘在域GF(q)上的嵌入E，則E即為所需的安全橢圓曲線。
4）首先給出具有安全條件的曲線階，然后構(gòu)造一具有此階的橢圓曲線。
目前國內(nèi)外比較流行的計(jì)算橢圓曲線階的算法有complex multiplication算法、SEA算法、Satoh算法［7］,［8］均屬于上述幾種方法之一種。應(yīng)用廣泛的橢圓曲線公鑰密碼體制中大多是基于特征2的有限域上，因此尋找特征2的有限域上的安全橢圓曲線必須先予以解決，Satoh算法正是為此提出的。
5 有關(guān)Satoh算法的實(shí)現(xiàn)問題
作者使用Mathematica語言實(shí)現(xiàn)了特征2時(shí)Satoh算法。在算法實(shí)現(xiàn)的驗(yàn)證部分用到了上述方法，為了在有限域F2160上尋求安全橢圓曲線，首先在有限基域F216上隨機(jī)生成一條橢圓曲線E，利用Satoh算法計(jì)算其Frobenius同態(tài)跡C，根據(jù)橢圓曲線階的計(jì)算方法可知該曲線的階為216+1-C.設(shè)方程x2-Cx+216=0的兩個根為α，β，根據(jù)Weil共軛［6］可知該條橢圓曲線在擴(kuò)域上的階為：(216)10+1-(α10+β10)，如果這個階為大素?cái)?shù)或含大素?cái)?shù)因子，我們將E嵌入到F2160上就找到了一條符合密碼體制要求的安全曲線。
Satoh算法的C語言實(shí)現(xiàn)所涉及的運(yùn)算領(lǐng)域有：有限域Fq，2-adic環(huán)Zq和2-adic整數(shù)環(huán)Z2，各個領(lǐng)域的元素之間的運(yùn)算是大整數(shù)的基本運(yùn)算，這里q=2160.2-adic整數(shù)環(huán)Z2中元素α的形式如同α=a1+a22+a322+a423+...an2n-1+...冪級形式，ai的值或?yàn)?或?yàn)?.由于算法只需要精度precision為83=［160+62］，2-adic整數(shù)環(huán)Z2中元素級數(shù)不能超出83.2-adic整數(shù)環(huán)中元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義為：
Typedef unsigned long BIGword；
Typedef struct{
int length
BIGword value［3］
}Z2word；
兩個元素的相加減運(yùn)算為模283意義下的大整數(shù)的加減運(yùn)算，相乘為模283意義下的乘法運(yùn)算。求元素a的逆元運(yùn)算采用牛頓迭代算法，迭代的初始值為1（該元素為奇數(shù)，否則無逆元），迭代公式為x←x-x(ax-1)，迭代一次精度翻倍，達(dá)到所需83的精度要迭代7次。
有限域Fq上的元素α=a1+a2t+a3t2+a4t3+...a160t159，其形式為一次數(shù)不高于159次的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)或?yàn)?或?yàn)?，兩個多項(xiàng)式相加為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)模2加，減法與加法是一個運(yùn)算。相乘為模一多項(xiàng)式f(t)=t160+t5+t3+t2+1意義下的乘法，在實(shí)際的運(yùn)算過程中采用邊乘邊模的方法，也即次數(shù)出現(xiàn)160，就用低次多項(xiàng)式t5+t3+t2+1代替。求逆運(yùn)算采用擴(kuò)展歐幾里德算法。Fq元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義如下：
typedef struct {
int length
BIGword coef［5］
}Fqword
環(huán)Zq為2-adic整環(huán)Z2上的多項(xiàng)式Z2［t］，模去多項(xiàng)式f(t)生成的理想［f(t)］所形成的商環(huán)，即Zq：=Z2［t］/［f(t)］，f(t)同上。從環(huán)Zq的構(gòu)造可知，Zq中元素的形式為一次數(shù)不高于159的多項(xiàng)式，系數(shù)為2-adic整環(huán)Z2上的元素，這樣，我們可以定義Zq的元素?cái)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
typedef struct {
int length
Z2word coef［159］
}Zqword
元素的加、減法運(yùn)算同一般多項(xiàng)式運(yùn)算類似，只是對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算是2-adic環(huán)Z2上元素的加、減。乘法運(yùn)算的處理方式如同有限域中元素乘法的運(yùn)算處理。求元素a的逆運(yùn)算采用牛頓迭代方法。迭代初始值求法為：首先將元素a系數(shù)模2，得到有限域上的一元素a‘，利用有限域上元素求逆方法計(jì)算出a‘的逆，a‘的逆即為迭代初始值。迭代多項(xiàng)式與2-adic整數(shù)環(huán)中元素的求逆迭代多項(xiàng)式相同。
在上述基本運(yùn)算得到解決后，我們著手于橢圓曲線階的計(jì)算。隨機(jī)選取橢圓曲線y2+xy=x3+α（α為有限域中元素），利用Satoh算法可求出該曲線的階。每給出一個α值（實(shí)際上給出了一條曲線E），就會算出該曲線的階。
a的選取
對應(yīng)曲線的點(diǎn)的個數(shù)
0x40582590ac00873494fc02b180ba640130acb252
0x1000000000000000000014c3ec7372a968d0b1138
0xd80c00e8008e2021384a0243012d600554e10200
0xfffffffffffffffffffed059c32e5457a83e0314
0x8992b8ca2b70624440f6003100411646002d102c
0xffffffffffffffffffff203b8ad8bf63e2891eac
作者在攻讀碩士學(xué)位期間實(shí)現(xiàn)了素域上安全橢圓曲線構(gòu)造的SEA算法，在后期學(xué)習(xí)和工作中，分別用Mathematica和C兩種語言實(shí)現(xiàn)Satoh算法。這兩個算法的實(shí)現(xiàn)解決了有限域上安全曲線的構(gòu)造問題，對今后的研究——橢圓曲線密碼體制在移動通信領(lǐng)域中的應(yīng)用做了充分的準(zhǔn)備工作。
6 結(jié)束語
1.分析了將安全橢圓曲線引進(jìn)公鑰密碼體制的優(yōu)點(diǎn)是，與目前應(yīng)用較普遍的ＲＳＡ算法相比，在同等安全的情況下，其所需的密鑰長度遠(yuǎn)比ＲＳＡ低，因而ＥＣＣ的特性更適合當(dāng)今電子商務(wù)需要快速反應(yīng)的發(fā)展潮流，在快速加密、密鑰交換、身份認(rèn)證、數(shù)字簽名、移動通信、智能卡的安全保密等領(lǐng)域，具有廣闊的市場前景。
2.橢圓曲線公鑰密碼體制實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵是安全曲線的構(gòu)造問題，對此本文給出了實(shí)現(xiàn)Satoh算法驗(yàn)證部分的技巧：首先計(jì)算小基域上一橢圓曲線階，通過Weil定理可知該曲線在其有限擴(kuò)域上的階，若該階符合橢圓曲線公鑰密碼體制的要求，則將曲線嵌入到其擴(kuò)域上即可求得一條安全曲線。
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